0.1 Preface to Second Edition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
1 Introduction 1
2 Nonlinear Oscillators 5
2.1 Physical models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Mathematical models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Pure Nonlinear Oscillator 193.1 Qualitative analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 Exact period of vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Exact periodical solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Linear case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Odd quadratic nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.3 Cubic nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Adopted Lindstedt-Poincaré method . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Modi.ed Lindstedt-Poincaré method . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1 Comparison of the LP and MLP methods . . . . . . . . . 32
3.4.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Exact amplitude, period and velocity method . . . . . . . . . . . 34
3.6 Solution in the form of Jacobi elliptic function . . . . . . . . . . 35
3.6.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7 Solution in the form of a trigonometric function . . . . . . . . . . 39
3.7.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.8 Pure nonlinear oscillator with linear damping . . . . . . . . . . . 42
3.8.1 Parameter analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9 REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 Free Vibrations 49
4.1 Homotopy-perturbation technique . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1 Duffing oscillator with a quadratic term . . . . . . . . . . 544.1.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Averaging solution procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1 Solution in the form of an Ateb function . . . . . . . . . . 574.2.2 Solution in the form of the Jacobi elliptic function . . . . 64
4.2.3 Solution in the form of a trigonometric function . . . . . . 70
4.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3 Hamiltonian Approach solution procedure . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1 Approximate frequency of vibration . . . . . . . . . . . . 75
4.3.2 Error estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3.3 Comparison between approximate and exact solutions . . 79
4.3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 Oscillator with linear damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.1 Van der Pol oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5 Oscillators with odd and even quadratic nonlinearity . . . . . . . 93
4.5.1 Qualitative analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5.2 Exact solution for the asymmetric oscillator . . . . . . . . 97
4.5.3 Solution for the symmetric oscillator . . . . . . . . . . . . 99
4.5.4 Oscillations in an optomechanical system . . . . . . . . . 104
4.5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.6 REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5 Oscillators with the time variable parameters 115
5.1 Oscillators with sl
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